Ədədlər və hesablamalar · Mövzu 1

Natural ədədlər

Natural ədədlərin yazılışı, bölünmə qaydaları, sadə ədədlər, ƏBOB və ƏKOB. Bu mövzu bütün digər mövzuların təməlidir: kəsrlər, cəbri ifadələr və mətnli məsələlər burada öyrəndiklərinizə söykənir.

9-cu sinif11-ci sinifBlok⏱ ~25 dəq

1Natural ədəd anlayışı

Tərif. Əşyaları saymaq üçün istifadə olunan

1, 2, 3, 4, \dots

ədədlərinə natural ədədlər deyilir. Natural ədədlər çoxluğu

N

ilə işarə olunur:

N = {1; 2; 3; 4; \dots}

Ən kiçik natural ədəd $1$ -dir, ən böyük natural ədəd yoxdur.
$0$ natural ədəd deyil. $0$ ilə birlikdə götürülən çoxluq $N_{0} = {0; 1; 2; \dots}$ kimi yazılır.
İki natural ədədin cəmi və hasili həmişə natural ədəddir. Fərq və qismət isə natural ədəd olmaya bilər: $3 - 5 = - 2$ , $7 : 2 = 3, 5$ .

Şəkil 1. Ədəd oxunda natural ədədlər.

0

(qırmızı) natural ədəd deyil.

2Onluq say sistemi və mərtəbələr

Natural ədədlər $0, 1, 2, \dots, 9$ — on rəqəmin köməyi ilə yazılır. Rəqəmin qiyməti onun dayandığı mərtəbədən asılıdır.

Şəkil 2. Ədədin mərtəbə toplananlarına ayrılması.

Yadda saxla. İkirəqəmli

\overline{ab}

ədədi

10 a + b

, üçrəqəmli

\overline{ab c}

ədədi

100 a + 10 b + c

kimi yazılır (

a \neq = 0

). Bu yazılış rəqəmlərlə bağlı mətnli məsələlərdə çox istifadə olunur.

Birrəqəmli natural ədədlər:

1

-dən

9

-a qədər, cəmi 9 ədəd.

İkirəqəmli:

10

-dan

99

-a qədər, 90 ədəd. Üçrəqəmli:

100

–

999

, 900 ədəd.

3Ədədlərin yuvarlaqlaşdırılması

Ədədi verilmiş mərtəbəyə qədər yuvarlaqlaşdırmaq üçün növbəti (sağdakı) rəqəmə baxılır:

Növbəti rəqəm

0, 1, 2, 3, 4

-dürsə, mərtəbə rəqəmi dəyişmir.

5, 6, 7, 8, 9

-dursa, mərtəbə rəqəmi 1 vahid artır. Hər iki halda sağdakı rəqəmlər sıfırla əvəz olunur.

Ədəd	Onluqlara qədər	Yüzlüklərə qədər	Minliklərə qədər
3 746	3 750	3 700	4 000
12 951	12 950	13 000	13 000

4Bölən və bölünən (misil)

Tərif.

a

ədədi

b

ədədinə qalıqsız bölünürsə,

b

-yə

a

-nın böləni,

a

-ya isə

b

-nin misli (bölünəni) deyilir. Məsələn,

12

ədədi

3

-ə qalıqsız bölünür:

3

ədədi

12

-nin böləni,

12

isə

3

-ün mislidir.

$1$ istənilən natural ədədin bölənidir. Hər ədəd özünün həm böləni, həm də mislidir.
Ədədin bölənlərinin sayı sonludur, mislilərinin sayı isə sonsuzdur.
Məsələn, $12$ -nin bölənləri: $1, 2, 3, 4, 6, 12$ . $12$ -nin mislləri: $12, 24, 36, \dots$

Bölünmənin xassələri

$a$ və $b$ ədədlərinin hər biri $m$ -ə bölünürsə, onların cəmi və fərqi $(a \pm b)$ də $m$ -ə bölünür.
$a$ ədədi $m$ -ə bölünürsə, istənilən natural $k$ üçün $k \cdot a$ hasili də $m$ -ə bölünür.
$a$ ədədi $m$ -ə bölünürsə, $b$ isə $m$ -ə bölünmürsə, $(a + b)$ də $m$ -ə bölünmür.

5Qalıqlı bölmə

a = b \cdot q + r, 0 \leq r < b

a

— bölünən,

b

— bölən,

q

— natamam qismət,

r

— qalıq

Şəkil 3.

23

dairəni

5

-li qruplara bölək:

4

qrup alınır və

3

dairə artıq qalır.

Diqqət! Qalıq həmişə böləndən kiçikdir:

r < b

5

-ə bölmədə qalıq yalnız

0, 1, 2, 3, 4

ola bilər.

Faydalı qayda.

a

-nın

m

-ə bölünməsindən qalıq

r

-dirsə,

k \cdot a

-nın

m

-ə bölünməsindən alınan qalıq

k \cdot r

-in

m

-ə bölünməsindən alınan qalıqla eynidir. Cəm üçün də eyni qayda doğrudur.

6Bölünmə əlamətləri

Ədəd	Əlamət	Nümunə
2	Son rəqəmi cütdür ( $0, 2, 4, 6, 8$ )	$374 \underline{6}$
3	Rəqəmlərinin cəmi $3$ -ə bölünür	$2 + 4 + 7 + 5 = 18$ → $2475$ ədədi $3$ -ə bölünür
4	Son iki rəqəmdən düzələn ədəd $4$ -ə bölünür	$15 \underline{32}$ : $32$ ədədi $4$ -ə bölünür
5	Son rəqəmi $0$ və ya $5$ -dir	$247 \underline{5}$
8	Son üç rəqəmdən düzələn ədəd $8$ -ə bölünür	$7 \underline{120}$ : $120$ ədədi $8$ -ə bölünür
9	Rəqəmlərinin cəmi $9$ -a bölünür	$2 + 4 + 7 + 5 = 18$ → $2475$ ədədi $9$ -a bölünür
10	Son rəqəmi $0$ -dır	$438 \underline{0}$
11	Tək və cüt yerlərdə duran rəqəmlərin cəmləri fərqi $11$ -ə bölünür	$2475$ : $(2 + 7) - (4 + 5) = 0$ → $2475$ ədədi $11$ -ə bölünür
25	Son iki rəqəmdən düzələn ədəd $25$ -ə bölünür ( $00, 25, 50, 75$ )	$24 \underline{75}$

Mürəkkəb bölənlər. Ədəd

6

-ya bölünürsə, həm

2

-yə, həm

3

-ə bölünür.

12 = 3 \cdot 4

15 = 3 \cdot 5

18 = 2 \cdot 9

36 = 4 \cdot 9

üçün də əlamətlər birləşdirilir. Vuruqlar qarşılıqlı sadə olmalıdır: məsələn,

12

üçün

2 \cdot 6

yox,

3 \cdot 4

götürülür.

7Sadə və mürəkkəb ədədlər

Sadə ədəd — yalnız iki böləni olan (

1

və özü) natural ədəddir:

2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots

Mürəkkəb ədəd — ikidən çox böləni olan natural ədəddir:

4, 6, 8, 9, 10, 12, \dots

$1$ nə sadə, nə də mürəkkəb ədəddir.

2

isə yeganə cüt sadə ədəddir.

Şəkil 4. Eratosfen ələyi:

1

-dən

50

-yə qədər 15 sadə ədəd var.

Qarşılıqlı sadə ədədlər — ƏBOB-u $1$ olan ədədlərdir. Məsələn, $8$ və $15$ qarşılıqlı sadədir, halbuki ikisi də mürəkkəbdir.

8Sadə vuruqlara ayırma

Hər bir mürəkkəb ədədi sadə vuruqların hasili şəklində yeganə şəkildə yazmaq olar (vuruqların sırası nəzərə alınmır).

Şəkil 5.

360

-ın vuruqlara ayırma ağacı. Rəngli dairələr sadə vuruqlardır.

Bölənlərin sayı

n = p_{1}^{a_{1}} \cdot p_{2}^{a_{2}} \dots p_{k}^{a_{k}} \Rightarrow τ (n) = (a_{1} + 1) (a_{2} + 1) \dots (a_{k} + 1)

τ (n)

—

n

-in natural bölənlərinin sayı

Məsələn: $360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5^{1}$ olduğu üçün bölənlərin sayı $(3 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 24$ -dür.

9ƏBOB və ƏKOB

ƏBOB $(a; b)$ —

a

və

b

-nin ən böyük ortaq böləni. Hər iki ayrılışda olan sadə vuruqlar ən kiçik üstlə götürülür.

ƏKOB $(a; b)$ —

a

və

b

-nin ən kiçik ortaq bölünəni. Bütün sadə vuruqlar ən böyük üstlə götürülür.

Şəkil 6. Ortaq hissə ƏBOB-u, bütün diaqram ƏKOB-u verir.

Ə BOB (a; b) \cdot Ə KOB (a; b) = a \cdot b

Bu bərabərlik yalnız iki ədəd üçün doğrudur. Yoxlama:

12 \cdot 840 = 84 \cdot 120 = 10080

Nə vaxt hansını tapmalı? "Bərabər hissələrə bölmək", "ən çox neçə qrup" kimi suallarda ƏBOB axtarılır. "Yenidən eyni anda", "ən az neçə" kimi suallarda isə ƏKOB axtarılır.

10Həll edilmiş nümunələr

Nümunə 1.

\overline{23 x 4}

dördrəqəmli ədədi

9

-a bölünür.

x

rəqəminin ala biləcəyi qiymətləri tapın.

▸ Həllə bax

Rəqəmlərin cəmi

9

-a bölünməlidir:

2 + 3 + x + 4 = 9 + x

x

rəqəmdir (

0 \leq x \leq 9

), ona görə

9 + x = 9

və ya

9 + x = 18

.
Buradan

x = 0

və ya

x = 9

alınır.
Cavab: 0; 9

Nümunə 2. Natural ədəd

7

-yə bölündükdə qalıq

5

alınır. Bu ədədin

3

mislinin

7

-yə bölünməsindən alınan qalığı tapın.

▸ Həllə bax

a = 7 q + 5

olduğu üçün

3 a = 21 q + 15 = 21 q + 14 + 1 = 7 (3 q + 2) + 1

alınır.
Qısa yol: qalığı

3

-ə vururuq,

3 \cdot 5 = 15

, və

15

-in

7

-yə bölünməsindən qalığı tapırıq:

15 = 7 \cdot 2 + 1

.
Cavab: 1

Nümunə 3.

84

və

120

ədədlərinin ƏBOB və ƏKOB-unu tapın.

▸ Həllə bax

84 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7

120 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5

.
ƏBOB: ortaq vuruqlar ən kiçik üstlə,

2^{2} \cdot 3 = 12

.
ƏKOB: bütün vuruqlar ən böyük üstlə,

2^{3} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 840

.
Cavab: 12 və 840

Nümunə 4. Dayanacaqdan bir avtobus hər

12

dəqiqədən, digəri hər

18

dəqiqədən bir yola düşür. Saat

8 : 00

-da ikisi birlikdə yola düşüb. Növbəti dəfə nə vaxt birlikdə yola düşəcəklər?

▸ Həllə bax

"Yenidən eyni anda" ifadəsi ƏKOB axtarıldığını göstərir.

12 = 2^{2} \cdot 3

18 = 2 \cdot 3^{2}

, ona görə

Ə KOB = 2^{2} \cdot 3^{2} = 36

dəqiqə.

8 : 00 + 36

dəq

= 8 : 36

.
Cavab: 8:36

Nümunə 5.

360

ədədinin neçə natural böləni var?

▸ Həllə bax

360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5^{1}

, bölənlərin sayı

(3 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24

.
Cavab: 24

11DİM imtahanlarında şagirdlərin tipik səhvləri

❌

"1 sadə ədəddir". Xeyr:

1

-in yalnız bir böləni var, ona görə o nə sadə, nə mürəkkəbdir.

❌

"0 natural ədəddir". Xeyr: ən kiçik natural ədəd

1

-dir. "Ən kiçik ikirəqəmli natural ədəd" kimi suallarda buna diqqət edin.

❌

ƏBOB ilə ƏKOB-u qarışdırmaq. "Bölmək" sözündə ƏBOB, "yenidən görüşmək" sözündə ƏKOB axtarılır. Cavabı yoxlayın: ƏBOB ədədlərin ən kiçiyindən böyük ola bilməz.

❌

Qalığın bölənə bərabər və ya ondan böyük götürülməsi. Qalıq həmişə

0 \leq r < b

şərtini ödəməlidir.

❌

$12$ -yə bölünmədə $2$ və $6$ əlamətlərini birləşdirmək. Vuruqlar qarşılıqlı sadə olmalıdır:

12 = 3 \cdot 4

❌

$Ə BOB \cdot Ə KOB = a \cdot b \cdot c$ yazmaq. Bu düstur yalnız iki ədəd üçün doğrudur.

2vur2.az · Bu material 2vur2.az saytına məxsusdur